Question

已知函数f（x）=

1+lnx

x

．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（II）若函数f（x）在区间（t，t+

1

2

）（t＞0）上不是单调函数，求实数t的取值范围；
（III）如果当x≥1时，不等式f（x）≥

a

x+1

恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（I）求导f′（x）=-

lnx

x2

，从而由导数的正负确定函数的单调区间；
（II）由f（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）得t＜1＜t+

1

2

，从而解得；
（III）不等式f（x）≥

a

x+1

可化为a≤

(x+1)(1+lnx)

x

，令g（x）=

(x+1)(1+lnx)

x

，从而化恒成立为a≤g_min（x），（x≥1）；从而转化为函数的最值问题．

解答： 解：（I）∵f（x）=

1+lnx

x

，x＞0，故f′（x）=-

lnx

x2

，
则当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0；
故f（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）；
（II）∵f（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）；
∴t＜1＜t+

1

2

，
故

1

2

＜t＜1；
故实数t的取值范围为（

1

2

，1）；
（III）不等式f（x）≥

a

x+1

可化为a≤

(x+1)(1+lnx)

x

，
令g（x）=

(x+1)(1+lnx)

x

，
则当x≥1时，不等式f（x）≥

a

x+1

恒成立可化为
a≤g_min（x），（x≥1）；
而g′（x）=

x-lnx

x2

；
令h（x）=x-lnx；则h′（x）=1-

1

x

≥0；
故h（x）在[1，+∞）上是增函数，
故h（x）≥h（1）≥1；
故g′（x）=

x-lnx

x2

＞0；
故g（x）=

(x+1)(1+lnx)

x

在[1，+∞）上是增函数，
故g_min（x）=g（1）=2，
故a≤2；
故实数a的取值范围为（-∞，2]．

点评：本题了函数的综合应用及导数的综合应用，同时考查了恒成立问题，属于中档题．