Question

7．观察此表：
1，
2，3，
4，5，6，7，
8，9，10，11，12，13，14，15，
…问：
（1）此表第n行的最后一个数是多少？
（2）此表第n行的各个数之和是多少？
（3）2008是第几行的第几个数？

Answer 1

分析 （1）观察此表可以得出此表n行的第1个数为2^n-1，第n行共有2^n-1个数，依次构成公差为1的等差数列，由此可得出n行最后一个数的表达式；
（2）第n行共有2^n-1个数，依次构成公差为1的等差数列，故由等差数列的求各公式求出第n行的各个数之和；
（3）先运用公式判断是第几行的数，再判断是第几个数

解答 解：（1）此表第n行的第1个数为2^n-1，
故第n+1行的第1个数为2ⁿ，
∴第n行的最后一个数是2ⁿ-1；
（2）由等差数列的求和公式，此表第n行的各个数之和为：
$\frac{1}{2}（1+{2}^{n}-1）•（{2}^{n}-1）$-$\frac{1}{2}（1+{2}^{n-1}-1）•（{2}^{n-1}-1）$
=2^2n-2+2^2n-3-2^n-2．
（3）∵2¹⁰=1 024，2¹¹=2 048，1 024＜2 008＜2 048，
∴2 008在第11行，该行第1个数是2¹⁰=1 024．
由2 008-1 024+1=985，知2 008是第11行的第985个数

点评 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．