Question

20．若实数x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-1≥0}\\{x-y≤1}\\{x+y-4≤0}\end{array}\right.$，则$\frac{y-1}{x+1}$的取值范围是（　　）

• A． [-$\frac{1}{2}$，1]
• B． [-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]
• C． [-1，$\frac{1}{2}$]
• D． [-1，1]

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用直线斜率的公式进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域，$\frac{y-1}{x+1}$的几何意义是区域内的点到定点D（-1，1）的斜率，
由图象知CD的斜率最小，AD的斜率最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x-y=1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$，即C（1，0），
此时CD的斜率k=$\frac{-1}{1+1}$=$-\frac{1}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$，即A（1，3），
此时AD的斜率k=$\frac{3-1}{1+1}=\frac{2}{2}=1$，
即$\frac{y-1}{x+1}$的取值范围是[-$\frac{1}{2}$，1]，
故选：A

点评 本题主要考查线性规划的应用以及直线斜率的计算，利用数形结合以及直线斜率公式确定最优解是解决本题的关键．