Question

10．如图，⊙O与⊙P相交于A、B两点，点P在⊙O上，⊙O的弦BC切⊙P于点B，CP及其延长线交⊙P于D、E两点，过点E作EF⊥CE交CB的延长线于点F．
（1）求证：PB•CB=CD•EF；
（2）若CP=3，CB=2$\sqrt{2}$，求△CEF的面积．

Answer 1

分析 （1）利用Rt△CBP和Rt△CEF相似、切割线定理，即可证明结论；
（2）求出CE，EF，可得△CEF的面积．

解答 （1）证明：由题意Rt△CBP和Rt△CEF相似可得$\frac{PB}{EF}=\frac{CB}{CE}$．
∵⊙O的弦BC切⊙P于点B，∴CB²=CD•CE，∴$\frac{CB}{CE}$=$\frac{CD}{CB}$，
∴$\frac{PB}{EF}$=$\frac{CD}{CB}$，
∴PB•CB=CD•EF；
（2）解：设⊙P 的半径为 r，由（1）可得8=（3-r）（3+r），
∴r=1，∴CE=4
∵PB=$\sqrt{9-8}$=1，
∴$\frac{1}{EF}=\frac{2\sqrt{2}}{4}$，
∴EF=$\sqrt{2}$，
∴△CEF的面积S=$\frac{1}{2}×4×\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查勾股定理的应用，三角形相似对应边成比例，考查切割线定理的运用，属于中档题．