题目内容

11．直线y=a分别与函数y=3x+3和y=2x+lnx的图象相交于M，N两点，则|MN|的最小值为（　　）
A．4B．1C．$\frac{2}{3}$D．$\frac{4}{3}$

分析 设M（x1，a），N（x2，a），则3x1+3=2x2+lnx2，表示出x1，求出|MN|，利用导数求出|MN|的最小值．

解答 解：设M（x1，a），N（x2，a），
则3x1+3=2x2+lnx2，
∴x1=$\frac{1}{3}$（2x2+lnx2-3），
∴|MN|=x2-x1=$\frac{1}{3}$（x2-lnx2）+1，
令y=$\frac{1}{3}$（x-lnx）+1，
则y′=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{x}$），
函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴x=1时，函数的最小值为$\frac{4}{3}$．
故选：D

点评 本题考查两点间距离的最小值的求法，是中档题，考查学生分析解决问题的能力，正确求导确定函数的单调性是关键．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．

练习册系列答案
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1．曲线y=e-x在点（x0，$\frac{1}{e}$）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（　　）
A．$\frac{1}{2}$e2B．$\frac{1}{e}$C．e2D．$\frac{2}{e}$
2．正整数按图所示的规律排列：

则上起第2013行，左起第2014列的数应为（　　）
A．2013×2014B．2013+2014C．20142D．20132
19．设f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0，若f（x）≤|f（$\frac{π}{6}$）|对一切x∈R恒成立，则
①f（$\frac{11π}{12}$）=0．
②f（x）既不是奇函数也不是偶函数．
③|f（$\frac{7π}{10}$）|＜|f（$\frac{π}{5}$）|．
④存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交．
⑤b＞0时，f（x）的单调递增区间是[-$\frac{π}{3}+kπ，\frac{π}{6}+kπ}$]（k∈Z）．
以上结论正确的是①②（写出正确结论的编号）．
6．已知函数f（x）=sin$\frac{x}{2}$+$\sqrt{3}$cos$\frac{x}{2}$，x∈R，求：
（1）函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）f（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上的最值．
16．已知向量$\overrightarrow{a}$=（x，2），$\overrightarrow{b}$=（1，y），其中x＞0，y＞0，若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=1，则$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$的最小值为（　　）
A．6B．8C．9D．8$\sqrt{2}$
3．如图，已知正方形ABCD的边长为1，E在CD延长线上，且DE=CD．动点P从点A出发沿正方形ABCD的边按逆进针方向运动一周回到A点，其中$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AE}$，则下列命题正确的是①②．（填上所有正确命题的序号）
①当点P为AD中点时，λ+μ=1；
②λ+μ的最大值为3；
③若y为给定的正数，则一存在向量$\overrightarrow{AP}$和实数x，使$\overrightarrow{AD}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\frac{\overrightarrow{AP}}{|\overrightarrow{AP}|}$．
20．若实数x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-1≥0}\\{x-y≤1}\\{x+y-4≤0}\end{array}\right.$，则$\frac{y-1}{x+1}$的取值范围是（　　）
A．[-$\frac{1}{2}$，1]B．[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]C．[-1，$\frac{1}{2}$]D．[-1，1]
1．学校为绿化环境，移栽了香樟树3株．设香樟树移栽的成活率为$\frac{2}{3}$，且各株大树是否成活互不影响．则移栽的3株大树中至少成活2株的概率为$\frac{20}{27}$．

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