从四面体ABCD的6条棱的中点及其四个顶点共10个点中任取4个点.则这四个点不共面的概率是( )A．$\frac{5}{7}$B．$\frac{7}{10}$C．$\frac{24}{35}$D．$\frac{47}{70}$ 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．从四面体ABCD的6条棱的中点及其四个顶点共10个点中任取4个点，则这四个点不共面的概率是（　　）

A．

$\frac{5}{7}$

B．

$\frac{7}{10}$

C．

$\frac{24}{35}$

D．

$\frac{47}{70}$

分析利用组合求出10个点中取4个点的所有的基本事件个数；
利用分类讨论的方法求出取出的四点在一个平面上的所有的基本事件个数；
利用对立事件求出不共面的所有的基本的事件个数；
利用古典概型的概率公式求出这四个点不共面的概率值．

解答解：10个点中取4个点的取法为C₁₀⁴=210种，只要求出共面的即可；
共面的分三种情况：
①、四个点都在四面体的某一个面上，每个面6个点，有 C₆⁴=15种，
四个面共有4×15=60种情况；
②、其中三点共线，另一个点与此三点不在四面体的某一个面上，
而在与此三点所在直线异面的那条直线的中点，
显然只有6种情况（因为四面体只有6条边）；
③、其中两点所在直线与另两点所在直线平行，
且这四个点也不在四面体的某一个面上，画图可得出只有3种情况；
因此，取四个不共面的点的不同取法共有：210-60-6-3=141
所以这四个点不共面的概率为P=$\frac{141}{210}$=$\frac{47}{70}$．
故选：D．

点评本题考查了利用排列、组合求古典概型的概率问题，是较难的题目．

练习册系列答案

7．已知$cos（\frac{π}{2}+φ）=\frac{3}{5}$，且$|φ|＜\frac{π}{2}$，则tanφ为（　　）

4．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+3x（x＜2）\\ 2x-1（x≥2）\end{array}$，则f（-1）+f（4）的值为（　　）

2．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的一个顶点为B（0，b），右焦点为F，直线BF与椭圆的另一个交点为M，且|$\overrightarrow{BF}$|=2|$\overrightarrow{FM}$|，则该椭圆离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

12．下列特称命题中假命题为（　　）

	A．	空间中过直线外一点有且仅有一条直线与该直线垂直
	B．	仅存在一个实数b₂，使得-9，b₁，b₂，b₃，-1成等比数列
	C．	存在实数a，b满足a+b=2，使得3^a+3^b的最小值是6
	D．	?a∈（-4，0]，ax²+ax-1＜0恒成立

19．已知椭圆C：=$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率等于$\frac{\sqrt{3}}{2}$，椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为4+2$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C的左右顶点分别为A，B，过点P（-2，0）的动直线（x轴除外）与椭圆C相交于M，N两点，求证：AM与BN的交点Q总在定直线l：x=-8上．

16．设集合A={1，2，3，4，5}，集合B={1，2，3}，在集合A中任取一个数为x，在集合B中任取一个数为y，组成点（x，y）．
（Ⅰ）写出所有的基本事件；
（Ⅱ）求事件“x+y为偶数”的概率；
（Ⅲ）求事件“xy为奇数”的概率．

17．一个几何体的三视图如图所示，则三视图表示的几何体的体积最大为（　　）

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