Question

2．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的一个顶点为B（0，b），右焦点为F，直线BF与椭圆的另一个交点为M，且|$\overrightarrow{BF}$|=2|$\overrightarrow{FM}$|，则该椭圆离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 F（c，0），直线BF的方程为：$\frac{x}{c}+\frac{y}{b}$=1，即bx+cy-bc=0，与椭圆方程联立化为：（a²+c²）x²-2a²cx=0，利用根与系数的关系可得x_M+0=$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{c}^{2}}$，由于|$\overrightarrow{BF}$|=2|$\overrightarrow{FM}$|，可得$\overrightarrow{BF}$=2$\overrightarrow{FM}$，则c-0=2（x_M-c），代入即可得出．

解答 解：F（c，0），直线BF的方程为：$\frac{x}{c}+\frac{y}{b}$=1，即bx+cy-bc=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{bx+cy-bc=0}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，化为：（a²+c²）x²-2a²cx=0，
则x_M+0=$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{c}^{2}}$，即x_M=$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{c}^{2}}$，
∵|$\overrightarrow{BF}$|=2|$\overrightarrow{FM}$|，∴$\overrightarrow{BF}$=2$\overrightarrow{FM}$，
则c-0=2（x_M-c），
∴2x_M=3c，
∴2×$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{c}^{2}}$=3c，
化为：a²=3c²，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、向量坐标运算性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．