Question

已知函数f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx+

1

2

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期与单调递增区间；
（Ⅱ）当x∈[0，

π

2

]时，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+

3

2

，由周期公式即可求T，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z即可解得f（x）的单调递增区间．（2）由0≤x≤

π

2

，可得

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，从而有-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，即可求得f（x）的最大值和最小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=2sin（2x+

π

6

）+

3

2

，
∴T=

2π

2

=π，
∴由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z即可解得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z．
∴f（x）的单调递增区间是：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z…（6分）
（2）∵0≤x≤

π

2

，
∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴f（x）的最大值为

7

2

，最小值为

1

2

．…（12分）

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．