题目内容
设点M为抛物线y2=2px（p＞0）上一动点，F为焦点，O为坐标原点，求
的取值范围．
| |MO| |
| |MF| |
考点：直线与圆锥曲线的关系
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：由抛物线方程为：y2=2px（p＞0），可得：焦点F的坐标，由抛物线的定义可得
=
，化简再换元，利用基本不等式求得最大值．
| |MO| |
| |MF| |
| |MO| |
| d |
解答：
解：由抛物线方程为：y2=2px（p＞0），可得：
焦点F（
，0），
设M（m，n），则n2=2pm，m＞0，设M 到准线x=-
的距离等于d，
则
=
=
=
=
=
．
令 pm-
=t，t＞-
，则 m=
+
，
∴
=
=
≤
=
（当且仅当 t=
时，等号成立）．
故
的最大值为
，
的取值范围（0，
]．
焦点F（
| p |
| 2 |
设M（m，n），则n2=2pm，m＞0，设M 到准线x=-
| p |
| 2 |
则
| |MO| |
| |MF| |
| |MO| |
| d |
| ||
m+
|
| ||
m+
|
|
1+
|
令 pm-
| p2 |
| 4 |
| p2 |
| 4 |
| t |
| p |
| p |
| 4 |
∴
| |MO| |
| |MF| |
1+
|
1+
|
1+
|
2
| ||
| 3 |
| 3p2 |
| 4 |
故
| |MO| |
| |MF| |
2
| ||
| 3 |
| |MO| |
| |MF| |
2
| ||
| 3 |
点评：本题考查抛物线的定义、基本不等式的应用，考查换元的思想，解题的关键是表达出
，再利用基本不等式，综合性强．
| |MO| |
| |MF| |
练习册系列答案
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