Question

（本小题满分12分）
如图， 在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC＝3，BC＝4，，AA₁＝4，点D是AB的中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥BC₁；
（Ⅱ）求二面角的平面角的正切值．

Answer 1

（Ⅰ）略
（Ⅱ）二面角的正切值为

（Ⅰ）证明：直三棱柱ABC－A₁B₁C₁，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，



∴ AC⊥BC，                                           …………………2分
又 AC⊥，且
∴ AC⊥平面BCC₁，又平面BCC₁        ……………………………………4分
∴ AC⊥BC₁            ………………………………………………………………5分
（Ⅱ）解法一：取中点，过作于，连接        …………6分
是中点，
∴ ，又平面
∴平面，
又平面，平面
∴
∴ 又且
∴平面，平面         ………8分
∴  又
∴是二面角的平面角      ……………………………………10分
AC＝3，BC＝4，AA₁＝4，
∴在中，，，
∴      …………………………………………11分
∴二面角的正切值为  …………………………………………12分
解法二：以分别为轴建立如图所示空间直角坐标系…………6分
AC＝3，BC＝4，AA₁＝4，
∴， ，，，
∴，

平面的法向量，     …………………8分
设平面的法向量，
则，的夹角（或其补角）的大小就是二面角的大小  …………9分
则由  令，则，
∴                                          ………………10分
，则  　 ……………11分
∵二面角是锐二面角
∴二面角的正切值为             ………………………… 12分