Question

（本小题满分12分）
已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分别是PA、PB、BC的中点．
（I）求证：EF平面PAD；
（II）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；
（III）若M为线段AB上靠近A的一个动点，问当AM长度等于多少时，直线MF与平面EFG所成角的正弦值等于？

Answer 1

（I）略
（II）平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值是：
，锐二面角的大小是
（III）当时， MF与平面EFG所成角正弦值等于

解：方法1：（I）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，，


∴平面PAD，                                             …………（2分）
∵E、F为PA、PB的中点，
∴EF//AB，∴EF平面PAD；                                   …………（4分）
（II）解：过P作AD的垂线，垂足为O，
∵，则PO平面ABCD．
连OG，以OG，OD，OP为x、y、z轴建立空间坐标系，
…………（6分）
∵PA=PD，∴，
得，
，故，
设平面EFG的一个法向量为则，
，                                         …………（7分）
平面ABCD的一个法向量为
平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值是：
，锐二面角的大小是；                …………（8分）
（III）解：设，M（x，，0），则，
设MF与平面EFG所成角为，
则，
或，∵M靠近A，∴                              …………（10分）
∴当时， MF与平面EFG所成角正弦值等于．         …………（12分）
方法2：（I）证明：过P作P OAD于O，∵， 则PO平面ABCD，连OG，以OG，OD，OP为x、y、z轴建立空间坐标系，                                                         …………（2分）
∵PA=PD，∴，
得，
，
故，
∵，
∴EF平面PAD；                                              …………（4分）
（II）解：，
设平面EFG的一个法向量为 
则， ，      …………（7分）
平面ABCD的一个法向量为……【以下同方法1】
方法3：（I）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，，
∴平面PAD，                …………（2分）
∵E、F为PA、PB的中点，
∴EF//AB，∴EF平面PAD；       …………（4分）
（II）解：∵ EF//HG，AB//HG，∴HG是所二面角的棱，
…………（6分）
∵HG // EF，∴平面PAD， ∴DHHG，EHHG，
∴EHA是锐二面角的平面角，等于；                       …………（8分）
（III）解：过M作MK⊥平面EFG于K，连结KF，
则KFM即为MF与平面EFG所成角，                          …………（10分）
因为AB//EF，故AB/平面EFG，故AB/的点M到平面EFG的距离等于A到平面EFG的距离，∵平面PAD，∴平面EFGH平面PBD于EH，
∴A到平面EFG的距离即三角形EHA的高,等于，即MK，
∴，，在直角梯形中，，
∴或∵M靠近A，∴                     …………（11分）
∴当时， MF与平面EFG所成角正弦值等于．     …………（12分）