Question

已知函数f（x）=x³-2ax²+bx+c，
（1）当c=0时，f（x）在点P（1，3）处的切线平行于直线y=x+2，求a，b的值；
（2）若f（x）在点A（-1，8），B（3，-24）处有极值，求f（x）的表达式．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出原函数的导函数，利用f（1）=3，f′（1）=1联立方程组求解a，b的值；
（2）由f（x）在点A（-1，8），B（3，-24）处有极值，得到f′（-1）=f′（3）=0，结合f（1）=8求解a，b，c的值，验证f（3）=-24得答案．

解答： 解：（1）当c=0时，f（x）=x³-2ax²+bx．
∴f′（x）=3x²-4ax+b．
依题意可得f（1）=3，f′（1）=1，
即

3-4a+b=1 1-2a+b=3

，解得

a=2 b=6

；
（2）由f（x）=x³-2ax²+bx+c，
得f′（x）=3x²-4ax+b．
令

f′(-1)=3+4a+b=0 f′(3)=27-12a+b=0

，解得

a= 3 2 b=-9

，
由f（-1）=-1-2a-b+c=8，a=

3

2

，b=-9，可得c=3．
∴f（x）=x³-3x²-9x+3．
检验知f（3）=3³-3×3²-9×3+3=-24符合题意．
∴f（x）=x³-3x²-9x+3．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，解答此题的关键是注意极值点处的导数等于0，是中档题．