Question

若数列满足：对于，都有（常数），则称数列是公差为的准等差数列．如：若 则是公差为的准等差数列．

（1）求上述准等差数列的前项的和；

（2）设数列满足：，对于，都有．求证：为准等差数列，并求其通项公式；

（3）设（2）中的数列的前项和为，试研究：是否存在实数，使得数列有连续的两项都等于．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）                

（2）（）①

     ②

②-①得（）．                            

所以，为公差为2的准等差数列．                            

当为偶数时，，                       

 当为奇数时，解法一：；              

解法二：；          

解法三：先求为奇数时的，再用①求为偶数时的同样给分．

                                 

（3）解一：

当为偶数时，；  

当为奇数时，

．                                    

当为偶数时，，得．                            

由题意，有；                        

或．      所以，．              

解二：当为偶数时，,  

当为奇数时，．    

以下与解法一相同．