Question

10．已知数列{a_n}满足：a₁=-$\frac{5}{3}$，3S_n=-1-a_n+1，
（1）求a₂，a₃；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）记b_n=a_n²+a_n，求证：$\frac{1}{b_2}$+$\frac{1}{b_3}$+$\frac{1}{b_4}$+…+$\frac{1}{b_n}$＜$\frac{1}{10}$．

Answer 1

分析 （1）由已知数列首项及数列递推式可得a₂，a₃；
（2）由数列递推式可得3S_n-1=-1-a_n（n≥2），与原递推式作差可得数列{a_n}自第二项起构成以-2为公比的等比数列，则数列通项公式可求；
（3）把数列{a_n}的通项公式代入b_n=a_n²+a_n，求得b_n，代入$\frac{1}{b_2}$+$\frac{1}{b_3}$+$\frac{1}{b_4}$+…+$\frac{1}{b_n}$，放缩后利用等比数列的前n项和证得结论．

解答 （1）解：∵a₁=-$\frac{5}{3}$，3S_n=-1-a_n+1，
∴3a₁=-1-a₂，解得a₂=4，
3（a₁+a₂）=-1-a₃，解得a₃=-8；
（2）解：由3S_n=-1-a_n+1，
得3S_n-1=-1-a_n（n≥2），两式作差得：
3a_n=a_n-a_n+1，即a_n+1=-2a_n（n≥2）．
∴数列{a_n}自第二项起构成以-2为公比的等比数列，
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{-\frac{5}{3}，n=1}\\{（-2）^{n}，n≥2}\end{array}\right.$；
（3）证明：∵b_n=a_n²+a_n=（-2）²ⁿ+（-2）ⁿ=4ⁿ+（-2）ⁿ（n≥2）．
∴$\frac{1}{b_2}+\frac{1}{b_3}+\frac{1}{b_4}+…+\frac{1}{b_n}=\frac{1}{{{4^2}+{2^2}}}+\frac{1}{{{4^3}-{2^3}}}+…+\frac{1}{{{4^n}+{{（-2）}^n}}}$
=$\frac{1}{{{2^2}（{2^2}+1）}}+\frac{1}{{{2^3}（{2^3}-1）}}+…＜\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}+\frac{1}{2^8}+\frac{1}{2^9}+…=\frac{{\frac{1}{16}}}{{1-\frac{1}{16}}}+\frac{{\frac{1}{32}}}{{1-\frac{1}{16}}}=\frac{1}{10}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了放缩法证明数列不等式，是中档题．