Question

如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，AD=4，将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD．
（1）求二面角E-AB-D的大小；
（2）求四面体ABDE的表面积．

Answer 1

分析：（1）要求二面角E-AB-D的大小，先利用题设条件，推导出∠DBE即为二面角E-AB-D的平面角．再由题设条件求出二面角的余弦值，由此能求出二面角的大小．
（2）由题设条件分别求出S△ABD=

1

2

AB•BD=2

3

．S_△BDC=S△ABD=2

3

，S△BDE=2

3

，S△ADE=

1

2

AD•DE=4．由此能求出四面体ABDE的表面积．

解答：解：（1）在△EBD中，
∵∠DAB=60°，AB=2，AD=4，
∴BD=

AB2+AD2-2AB•ADcos∠DAB

=2

3

．
∴AB²+BD²=AD²，∴AB⊥BD．
∵平面EBD⊥平面ABD，∴AB⊥平面BDE，∴AB⊥BE．
∴∠DBE即为二面角E-AB-D的平面角．
又∵CD⊥BD，∴ED⊥BD，而BD=2

3

，
DE=DC=AB=2，
∴在Rt△BDE中，cos∠DBE=

BD

BE

=

3

2

，
∴∠DBE=30°．
（2）由（1）知：AB⊥BD，
∴S△ABD=

1

2

AB•BD=2

3

．
又∵S_△BDC=S△ABD=2

3

，而△EBD即为△BDC，
∴S△BDE=2

3

．
又∵AB⊥BE，BE=BC=AD=4，∴S△ABE=

1

2

AB•BE=4．
又DE⊥AD，∴S△ADE=

1

2

AD•DE=4．
故四面体ABDE的表面积为8+4

3

．

点评：本题考查二面角的求法，考查四面体的表面积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．