题目内容

3．如图，在空间四边形ABCD（A，B，C，D不共面）中，一个平面与边AB，BC，CD，DA分别交于E，F，G，H（不含端点），则下列结论错误的是（　　）
A．若AE：BE=CF：BF，则AC∥平面EFGH
B．若E，F，G，H分别为各边中点，则四边形EFGH为平行四边形
C．若E，F，G，H分别为各边中点且AC=BD，则四边形EFGH为矩形
D．若E，F，G，H分别为各边中点且AC⊥BD，则四边形EFGH为矩形

分析 作出如图的空间四边形，连接AC，BD可得一个三棱锥，将四个中点连接，得到一个四边形，可证明其是一个菱形．

解答 解：作出如图的空间四边形，
连接AC，BD可得一个三棱锥，
将四个中点连接，得到一个四边形EFGH，
由中位线的性质知，
EH∥FG，EF∥HG
故四边形EFGH是平行四边形，
又AC=BD，
故有HG=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BD=EH，
故四边形EFGH是菱形．
故选：C．

点评 本题考查空间中直线与干线之间的位置关系，解题的关键是掌握空间中直线与直线之间位置关系的判断方法，本题涉及到线线平行的证明，中位线的性质等要注意这些知识在应用时的转化方式．

练习册系列答案
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