Question

12．已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若对任意m，n∈[-1，1]，m+n≠0，都有$\frac{f（m）+f（n）}{m+n}＞0$．
（1）用定义证明函数f（x）在定义域上是增函数；
（2）若$f（{a+\frac{1}{2}}）＜f（{3a}）$，求实数a的取值范围；
（3）若不等式f（x）≤（1-2a）t+2对所有和x∈[-1，1]，a∈[-1，1]都恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令-1≤x₁＜x₂≤1，作差f（x₁）-f（x₂）后化积可判断f（x₁）-f（x₂）＜0，从而可证明函数f（x）在定义域上是增函数；
（2）利用奇函数在[-1，1]上单调递增可得，$f（{a+\frac{1}{2}}）＜f（{3a}）$?$\left\{\begin{array}{l}{-1≤a+\frac{1}{2}≤1}\\{-1≤3a≤1}\\{a+\frac{1}{2}＜3a}\end{array}\right.$解之即可求得实数a的取值范围；
（3）由（1）知f（x）_max≤（1-2a）t+2对任意a∈[-1，1]都恒成立?1≤-2ta+t+2对任意a∈[-1，1]恒成立，可求得实数t的取值范围．

解答 证明：（1）设任意x₁，x₂满足-1≤x₁＜x₂≤1，由题意可得$f（{x_1}）-f（{x_2}）=f（{x_1}）+f（{-{x_2}}）=\frac{{f（{x_1}）+f（{-{x_2}}）}}{{{x_1}+（{-{x_2}}）}}（{{x_1}-{x_2}}）＜0$，
∴f（x）在定义域[-1，1]上位增函数；
解：（2）由（1）知$f（{a+\frac{1}{2}}）＜f（{3a}）?\left\{{\begin{array}{l}{-1≤a+\frac{1}{2}≤1}\\{-1≤3a≤1}\\{a+\frac{1}{2}＜3a}\end{array}?\frac{1}{4}＜a≤\frac{1}{3}}\right.$，
∴即a的取值范围为$（{\frac{1}{4}，\frac{1}{3}}]$；
（3）由（1）知f（x）_max≤（1-2a）t+2对任意a∈[-1，1]都恒成立，
即1≤-2ta+t+2对任意a∈[-1，1]都恒成立，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{-2t+t+2≥1}\\{2t+t+2≥1}\end{array}}\right.?-\frac{1}{3}≤t≤1$，
即t的取值范围为$[{-\frac{1}{3}，1}]$．

点评 本题考查函数恒成立问题，突出考查函数奇偶性的性质，考查等价转化思想与推理运算能力，属于难题．