Question

【题目】是否存在实数a，使得函数y=cos2x+asinx+ ﹣ 在闭区间[0，π]的最大值是0？若存在，求出对应的a的值；若不存在，试说明理由．

Answer 1

【答案】解：∵y=cos2x+asinx+ ﹣ =﹣sin2x+asinx+ ﹣ ， 令sinx=t，t∈[0，1]，
∴f（t）=﹣t2+at+ ﹣ ，对称轴为t= a，
①当a≤0时，函数f（t）在[0，1]上是减函数，
∴f（t）的最大值是g（a）=f（0）= ﹣ =0，解得a= ，不符合题意，
②当a≥2时，函数f（t）在[0，1]上是增函数，
∴f（x）的最大值是g（a）=f（1）= ﹣ =0，解得a= ，不符合题意，
③当0＜a＜2时，f（x）在x∈[0，1]的最大值是g（ a）=f（ a）= + ﹣ =0，
解得a=﹣4（舍去），或a= ．·
综上，存在a= 时，函数在闭区间[0，π]上的最大值是0
【解析】化简函数f（x），令sinx=t，t∈[0，1]，求出f（t）在t∈[0，1]的最大值函数g（a），再令g（a）=0，求对应a的值是否存在即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解三角函数的最值的相关知识，掌握函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则，，．