题目内容
【题目】已知函数
， 
．
（Ⅰ）当
时， 
恒成立，求
的取值范围；
（Ⅱ）当
时，研究函数
的零点个数；
（Ⅲ）求证： 
(参考数据： 
)．
【答案】(Ⅰ) 
; (Ⅱ)当
时无零点；当
时有一个公共点. (Ⅲ)见解析.
【解析】【试题分析】（1）构造函数借助导数知识运用分类整合思想分析探求；（2）构造函数运用导数知识研究函数的图像变化情况，确定函数的图像的交点的个数；（3）借助（1）、（2）的结论运用缩放的方法进行分析推证：
(Ⅰ)令
则
①若
，则
， 
， 
在
递增， 
，即
在 
恒成立，满足，所以
；
②若
， 
在
递增， 
且
且
时， 
，则
使
进而
在
递减，在
递增，
所以当
时
，即当
时， 
，不满足题意，舍去；
综合①，②知
的取值范围为
.
(Ⅱ)依题意得
，则
，
则
在
上恒成立，故
在
递增，
所以
，且
时， 
；
若
，即
，则
，故
在
递减，所以
，
在
无零点；②若
，即
，则
使
，进而
在
递减，在
递增， 
且
时， 
， 
在
上有一个零点，在
无零点，故
在
有一个零点.
综合①②，当
时无零点；当
时有一个公共点.
(Ⅲ)由(Ⅰ)知，当
时， 
对
恒成立，
令
，则
即
；
由(Ⅱ)知，当
时， 
对
恒成立，
令
，则
，所以
；
故有
.
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