Question

【题目】如下图，三棱柱中，侧面 底面， ,且,O为中点.

（Ⅰ）证明： 平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦；

（Ⅲ）在上是否存在一点，使得平面，若不存在，说明理由；若存在，确定点的位置.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）为的中点.

【解析】(1)因为侧面底面,所以只需证明即可.

（2）可以以O为原点，ＯＮ，ＯＣ，ＯＡ１所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，然后用向量的方法求解线面角的问题.

（3）在（2）的基础上也可以用向量来求点E位置.也可以取BC的中点M，连接OM，取BC1的中点E，连接ME，则OM//AB，ME//BB1//AA1，所以平面OMB//平面AA1B，所以OE//平面.从而确定E为BC1的中点.

(Ⅰ)证明:因为,且O为AC的中点,

所以

又由题意可知,平面平面,交线为,且平面,

所以平面

(Ⅱ)如图,以O为原点, 所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.

由题意可知, 又

所以得:

则有:

设平面的一个法向量为,则有

,令,得

所以

因为直线与平面所成角和向量与所成锐角互余,所以

(Ⅲ)设

即,得

所以得

令平面,得,

即得

即存在这样的点E,E为的中点