Question

【题目】已知是圆上任意一点，点的坐标为，直线分别与线段交于两点，且.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）直线与轨迹相交于两点，设为坐标原点， ，判断的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（定值）

【解析】试题分析：（1）化简向量关系式可得，所以是线段的垂直平分线，所以，转化为椭圆定义，求出椭圆方程；（2）联立直线与椭圆方程，根据根与系数的关系求出，再由点到直线的距离公式求三角形高，写出三角形面积化简即可证明为定值.

试题解析：（1）由可知是线段的中点，将

两边平方可得， 得：

，即，所以是线段的垂直平分线，所以，

所以，∴点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，所以，所求椭圆方程为： .

（2）设，由得，

由得，且有

，且有

因为，得，即 化简得：

满足， ，

点到直线的距离，所以（定值）