Question

已知函数f（x）=e

kx-1

x+1

（e是自然对数的底数）．
（1）若函数f（x）是（-1，+∞）上的增函数，求k的取值范围；
（2）若对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜x+1，求满足条件的最大整数k的值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）设g（x）=

kx-1

x+1

，求出导数，再由单调性可得g（x））是（-1，+∞）上的增函数，运用导数大于0，即可得到；
（2）先猜想满足条件的最大整数k=2．再证明，设h（x）=ln（x+1）+

3

x+1

，再由导数判断单调性，再由单调性得到h（x）≥h（2），即可得证．

解答： 解：（1）设g（x）=

kx-1

x+1

，导数g′（x）=

k(x+1)-kx+1

(x+1)2

=

k+1

(x+1)2

由于f（x））是（-1，+∞）上的增函数，且e＞1，则g（x））是（-1，+∞）上的增函数，
即有g′（x）＞0，即有k＞-1，即k的取值范围是（-1，+∞）；
（2）由条件可得，f（1）＜2，即e

k-1

2

＜2，即有k＜1+2ln2＜3，猜想满足条件的最大整数k=2．
证明：对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜x+1．
e

2x-1

x+1

＜x+1?2-

3

x+1

＜ln（x+1）?ln（x+1）+

3

x+1

＞2，
设h（x）=ln（x+1）+

3

x+1

，则h′（x）=

1

x+1

-

3

(x+1)2

=

x-2

(x+1)2

当0＜x＜2时，h′（x）＜0，当x＞2时，h′（x）＞0，
则?x＞0，则h（x）≥h（2）=1+ln3＞2，
即有对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜x+1．
则满足条件的最大整数k=2．

点评：本题考查导数的运用：求单调区间和判断单调性，考查不等式恒成立思想，以及单调性的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．