Question

20．四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BCD=45°．△PAB与△PAD都是等边三角形．
（1）求证：CD⊥平面PBD；
（2）求直线CD与平面PAD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，过A作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明CD⊥平面PBD．
（2）求出平面PAD的法向量，利用向量法能求出直线CD与平面PAD所成角的正弦值．

解答 证明：（1）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，过A作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
设AB=2，则由题意C（4，2，0），D（2，0，0），P（1，1，$\sqrt{3}$），B（0，2，0），
$\overrightarrow{CD}$=（-2，-2，0），$\overrightarrow{PB}$=（-1，1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PD}$=（1，-1，-$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{PB}$=0，$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{PD}$=0，
∴$\overrightarrow{CD}⊥\overrightarrow{PB}，\overrightarrow{CD}⊥\overrightarrow{PD}$，∴CD⊥PB，CD⊥PD，
∵PB∩PD=P，∴CD⊥平面PBD．
解：（2）$\overrightarrow{AP}$=（1，1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AD}$=（2，0，0），
设平面PAD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=x+y+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=2x=0}\end{array}\right.$，取y=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{3}$，-1），
设直线CD与平面PAD所成角为θ，
sinθ=$\frac{|\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{CD}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-2\sqrt{3}|}{\sqrt{8}•\sqrt{4}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
∴直线CD与平面PAD所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．