Question

1．已知$\overrightarrow a$=（2$\sqrt{3}$sinωx，2sinωx），$\overrightarrow b$=（cosωx，sinωx），0＜ω＜2，函数f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$+t（t为常数）的一条对称轴方程为x=$\frac{π}{3}$，且与y轴交于（0，-1）．
（1）求f（x）解析式；
（2）若锐角α，β满足f（$\frac{α+β}{2}$+$\frac{π}{12}$）=$\frac{{5\sqrt{3}}}{7}$，f（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{3}$）=$\frac{2}{7}$，求sinβ．

Answer 1

分析 （1）跟姐姐向量数量积的公式进行化简，结合三角函数的对称性以及与y轴的交点坐标建立方程即可得到结论．
（2）根据条件建立方程关系，利用两角和差的正弦公式进行化简求解即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow a$=（2$\sqrt{3}$sinωx，2sinωx），$\overrightarrow b$=（cosωx，sinωx），
∴f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$+t=2$\sqrt{3}$sinωxcosωx+2sin²ωx+t=$\sqrt{3}$sin2ωx-cos2ωx+1+t=2sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）+1+t，
∵函数与y轴交于（0，-1）．
∴f（0）=-1，即t=-1，
∵函数f（x）的一条对称轴方程为x=$\frac{π}{3}$，
∴由2ωx-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，
得2ωx=$\frac{2π}{3}$+kπ，k∈Z，
当x=$\frac{π}{3}$时，得2ω•$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$+kπ，k∈Z，
即ω=1+$\frac{3}{2}$k，k∈Z，
∵0＜ω＜2，
∴当k=0时，ω=1，
当k=1时，ω=$\frac{5}{2}$不满足条件．，
当k=-1时，ω=-$\frac{1}{2}$不满足条件．，
即ω=1，则f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
（2）若锐角α，β满足f（$\frac{α+β}{2}$+$\frac{π}{12}$）=$\frac{{5\sqrt{3}}}{7}$，f（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{3}$）=$\frac{2}{7}$，
则2sin[2×（$\frac{α+β}{2}$+$\frac{π}{12}$）-$\frac{π}{6}$]=$\frac{{5\sqrt{3}}}{7}$，2si[2×（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{6}$]=$\frac{2}{7}$，
即2sin（α+β）=$\frac{{5\sqrt{3}}}{7}$，2sin（α+$\frac{π}{2}$）=$\frac{2}{7}$，
即sin（α+β）=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$，cosα=$\frac{1}{7}$，
∵α，β都是锐角，
∴sinα=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，cos（α+β）=±$\frac{11}{14}$
当cos（α+β）=$\frac{11}{14}$时，
sinβ=sin（α+β-α）=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$×$\frac{1}{7}$-$\frac{11}{14}$×$\frac{4\sqrt{3}}{7}$=-$\frac{39\sqrt{3}}{98}$（舍），
当cos（α+β）=-$\frac{11}{14}$时，
sinβ=sin（α+β-α）=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$×$\frac{1}{7}$+$\frac{11}{14}$×$\frac{4\sqrt{3}}{7}$=$\frac{49\sqrt{3}}{14×7}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查向量与三角函数的综合问题，利用向量数量积的定义求出函数f（x）的表达式，结合两角和差的正弦公式是解决本题的关键．考查学生的计算能力．