Question

如图所示，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，PA=AB=BC=

1

2

AD=1．
（1）求PB与CD所成的角；
（2）求直线PD与平面PAC所成的角的余弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：（1）取AD的中点E，连接PE，BE，由已知条件推导出∠PBE即为PB与CD所成的角，由此能求出PB与CD所成的角．（2）以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PD与平面PAC所成角的余弦值．

解答： 解：（1）取AD的中点E，连接PE，BE，
则△ABE，△PAE，△PAB都是两直角边为1的等腰直角三角形，
∴PB=BE=PE=

2

，
∵BE∥CD，
∴∠PBE即为PB与CD所成的角，
∵PB=BE=PE，
∴∠PBE=60°，
∴PB与CD所成的角为60°． 
（2）以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴，
建立如图所示的坐标系．
则P（0，0，1），B（1，0，0），
C（1，1，0），E（0，1，0）

DP

=（0，-2，1），

BE

=（-1，1，0），
由（1）知

BE

即为平面PAC的一个法向量，
∴cos＜

BE

，

DP

＞=-

10

5

，
设PD与平面PAC所成角为θ，
cosθ=

1-(- 10 5 )2

=

15

5

，
∴PD与平面PAC所成角的余弦值为

15

5

．

点评：本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查直线与平面所成角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．