Question

已知函数f（x）满足：f（1）=

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，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）（x∈R），则f（2013）=

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：令y=1，得到（x）=f（x+1）+f（x-1），将x换成x+1，得到f（x+1）=f（x+2）+f（x），即有f（x+2）+f（x-1）=0，再将x换成x+1，得到f（x）+f（x+3）=0．即f（x+6）=f（x）．则函数的周期为6，则f（2013）=f（3），可令x=y=0，求出f（0），由f（x）+f（x+3）=0，令x=0，得f（3）=-

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．即可得到答案．

解答： 解：当y=1，由4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）
可得4f（1）f（x）=f（x+1）+f（x-1），
即f（x）=f（x+1）+f（x-1），
f（x+1）=f（x+2）+f（x），即有f（x+2）+f（x-1）=0，
即有f（x）+f（x+3）=0．即f（x+6）=-f（x+3）=f（x）．
则函数为周期T=6的函数，
则f（2013）=f（6×335+3）=f（3），
由于4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）
可令x=y=0，4f（0）f（0）=2f（0），则f（0）=

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（0舍去）．
由f（x）+f（x+3）=0，令x=0，得f（3）=-f（0）=-

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．
故f（2013）=-

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故答案为：-

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．

点评：本题考查抽象函数及运用，考查函数的周期性及运用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，属于中档题．