Question

20．若P（x，y）点满足$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1（y≥0）则$\frac{y-3}{x-4}$的范围是$[\frac{3-\sqrt{3}}{3}，\frac{3}{2}]$．

Answer 1

分析 由$\frac{y-3}{x-4}$的几何意义为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1（y≥0）上的动点与定点M（4，3）连线的斜率，借助于两点求斜率可得$\frac{y-3}{x-4}$的最大值，再设出过点M（4，3）的直线方程，联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，由判别式等于0求得$\frac{y-3}{x-4}$的最小值．

解答 解：如图，$\frac{y-3}{x-4}$的几何意义为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1（y≥0）上的动点与定点M（4，3）连线的斜率，
∵${k}_{MA}=\frac{3-0}{4-2}=\frac{3}{2}$，∴$\frac{y-3}{x-4}$的最大值为$\frac{3}{2}$；
设过M（4，3）的直线方程为y-3=k（x-4），即y=kx-4k+3，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-4k+3}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²-（32k²-24k）x+64k²-96k+32=0．
由△=（32k²-24k）²-（4+16k²）（64k²-96k+32）=0，
整理得：3k²-6k+2=0，解得k=$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$或k=$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$（舍），
∴$\frac{y-3}{x-4}$的最小值为$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$[\frac{3-\sqrt{3}}{3}，\frac{3}{2}]$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了数形结合的解题思想方法，该题也可利用三角代换求解，是中档题．