Question

3．求函数y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-2x-8）的定义域，值域和单调性．

Answer 1

分析 由真数大于零列出不等式解出定义域，利用复合函数单调性判断单调性，利用单调性求出最值

解答 解：由式子有意义得x²-2x-8＞0，
解得x＜-2或x＞4．
函数的定义域为{x|x＜-2或x＞4}．
设t=x²-2x-8，则t＞0，
函数y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-2x-8）的值域为R．
设g（x）=x²-2x-8，
则g（x）的图象开口向上，对称轴为x=1．
∴g（x）在（-∞，-2）上单调递减，在（4，+∞）上单调递增，
∴y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-2x-8）在（-∞，-2）上单调递减增，在（4，+∞）上单调递减．

点评 本题考查了对数函数的定义域，值域和单调性，是基础题．