Question

已知函数g（x）是幂函数，h（x）=ax^-1，f（x）=h（x）-g（x），且函数f（x）的图象过点（4，-

7

2

）和（1，1）两点．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调区间，判断函数在区间[-2，3]上是否存在最大值或最小值；若存在，求出对应的最值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）将点（4，-

7

2

）代入函数f（x）=h（x）-g（x）的解析式，可得指数及a的值，进而得到f（x）的解析式；
（2）根据（1）中函数的解析式，分析函数的图象和性质，进而可得答案．

解答： 解：（1）∵函数g（x）是幂函数，h（x）=ax^-1，
∴设g（x）=x^α，
∴f（x）=ax^-1-x^α，
又∵函数f（x）的图象过点（4，-

7

2

）和（1，1）两点．
∴

a 4 -4α=- 7 2 a-1=1

，
解得：a=2，α=1，
∴f（x）=

2

x

-x，
（2）∵f（x）=

2

x

-x的定义域为{x|x≠0}，
又∵f′（x）=

-x2-2

x2

＜0恒成立，
故函数f（x）的单调递减区间为（-∞，0）和（0，+∞），
函数在区间[-2，3]上无最大值和最小值．

点评：本题考查的知识点是函数解析式的求地，函数的单调性，函数的最值，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．