Question

已知f（x）=2sin（

π

3

x+

π

6

），集合M={x||f（x）|=2，x＞0}，把M中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{a_n}（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足：b 1=1，bn+1=bn+a2n，求{b_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列与三角函数的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由|f（x）|=2，可求得x，再由x＞0可得集合M，从而可得a₁，a₂，a₃，…，易判断其构成等差数列，从而得到数列{a_n}的通项公式；
（2）累加法：当n≥2时，b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁，由bn+1-bn=a2n可求得b_n，再检验n=1时是否适合该式即可；

解答： 解：（1）由|f（x）|=|2sin（

π

3

x+

π

6

）|=2，得sin（

π

3

x+

π

6

）=±1，
即

π

3

x+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，∴x=3k+1，k∈Z，
又x＞0，所以M={x|x=3k+1，k∈N}，
由题设a₁=1，a₂=4，a₃=7，…，依次组成公差为3的等差数列，
所以数列{a_n}的通项公式a_n=3n-2，n∈N^*；
（2）当n≥2时，
b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=a2n-1+a2n-2+…+a21+b1
=3（2^n-1+2^n-2+…+2）-2（n-1）+1
=3•

2(1-2n-1)

1-2

-2（n-1）+1
=3•2ⁿ-2n-3，
当n=1时，上式亦适合，
所求{b_n}的通项公式为bn=3•2n-2n-3(n∈N*)．

点评：本题考查数列递推式、等差等比数列的通项公式及等比数列的前n项和公式，考查三角函数等有关知识，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力．