Question

6．已知数列{a_n}的首项a₁=2，且a_n=2a_n-1-1（n∈N^*，N≥2）
（1）求证：数列{a_n-1}为等比数列；并求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{n•a_n-n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）已知通项公式变形，利用等比数列的性质判断得证，求出数列{a_n}的通项公式即可；
（2）根据题意表示出数列{n•a_n-n}的前n项和S_n，利用数列的递推式确定出S_n通项公式即可．

解答 证明：（1）由a_n=2a_n-1-1，得a_n-1=2（a_n-1-1），
∴数列{a_n-1}构成首项为a₁-1=1，公比q=2的等比数列，
∴a_n-1=2^n-1，即a_n=2^n-1+1；
解：（2）∵na_n-n=n•2^n-1+n-n=n•2^n-1，
∴S_n=1•2⁰+2•2¹+3•2²+…+n•2^n-1，①，
2S_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，②，
②-①，得：S_n=-2⁰-2¹-2²-…-2^n-1+n•2ⁿ=-$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$+n•2ⁿ=n•2ⁿ+1-2ⁿ=（n-1）2ⁿ+1．

点评 此题考查了数列的求和，以及等比数列的通项公式，熟练掌握等比数列的通项公式是解本题的关键．