Question

数列{

1

an

}是首项为1的等差数列，a₁，a₂，a₅成公比不为1的等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a_na_n+1，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（II）b_n=a_na_n+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用“裂项求和”即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）设数列{

1

an

}的公差为d，则a₁=1，a2=

1

1+d

，a5=

1

1+4d

，
而a₁，a₂，a₅成公比不为1的等比数列，
故有(

1

1+d

)2=

1

1+4d

，解得d=0或d=2，
又∵公比不为1，故d≠0，
因此

1

an

=1+2（n-1）=2n-1，即a_n=

1

2n-1

．
（Ⅱ）b_n=a_na_n+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴数列{b_n}的前n项和S_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”，考查了计算能力，属于基础题．