Question

设P是双曲线

x2

4

-

y2

12

=1右支上的一个动点，F₁，F₂为左右两个焦点，在△PF₁F₂中，令∠PF₁F₂=α，∠PF₂F₁=β，则tan

α

2

÷tan

β

2

的值为（　　）

• A、

  1

  3

• B、3-2

  2

• C、3
• D、与P的位置有关的变数

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：三角函数的求值,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：首先利用正弦定理求得：

|PF1|

sinβ

=

|PF2|

sinα

=

|F1F2|

sin(α+β)

，进一步利用等比性质和三角关系时的变换求得：asin

α+β

2

=csin

β-α

2

，最后通过展开式求出tan

α

2

÷tan

β

2

=

c-a

c+a

，再利用双曲线中a、b、c的关系求的结果．

解答： 解：在△PF₁F₂中，令∠PF₁F₂=α，∠PF₂F₁=β
利用正弦定理：

|PF1|

sinβ

=

|PF2|

sinα

=

|F1F2|

sin(180°-α-β)

则：

|PF1|

sinβ

=

|PF2|

sinα

=

|F1F2|

sin(α+β)

sin(α+β)

sinβ-sinα

=

|F1F2|

|PF1|-|PF2|

=

c

a

asin

α+β

2

=csin

β-α

2

asin

α

2

cos

β

2

+acos

α

2

sin

β

2

=csin

β

2

cos

α

2

-ccos

β

2

sin

α

2

(a+c)sin

α

2

cos

β

2

=(c-a)cos

α

2

sin

β

2

tan

α

2

÷tan

β

2

=

c-a

c+a

由于双曲线

x2

4

-

y2

12

=1
求得：a=2，b=2

3

，c=4
所以：tan

α

2

÷tan

β

2

=

c-a

c+a

=

1

3

故选：A

点评：本题考查的知识点：正弦定理的应用，等比性质的应用，角的和差恒等变换关系式，a、b、c、的关系变换，及相关的运算问题．