Question

过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）左焦点F₁（-c，0）作倾斜角为30°的直线L交双曲线右支于点P，线段PF₁的中点在y轴上，双曲线右焦点F₂（c，0）到双曲线的渐近线的距离是2．
（Ⅰ）求双曲线的方程；   
（Ⅱ）设以F₁F₂为直径的圆与直线L交于点Q，过右焦点F₂和点Q的直线L′与双曲线交于A、B两点，求弦|AB|的长度．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由题设条件推导出4（

a

b

）?+4（

a

b

）²=3，由此能求出双曲线方程．
（Ⅱ）直线L的方程：y=

3

3

(x+

6

)=

3

3

x+

2

，以F₁F₂为直径的圆的方程为：x²+y²=6，联立

x2+y2=6 y= 3 3 x+ 2

，得Q（-

6

，0）或Q（

6

2

，

3 2

2

），由此能求出弦|AB|的长度．

解答： 解：（Ⅰ）F₁（-c，0），设P（x，y）
∵M在y轴上，∴

x-c

2

=0，解得x=c，
将P（c，y）代入

x2

a2

-

y2

b2

=1，得y²=

b4

a2

，
连接P，F₂，△F₁PF₂为直角三角形，tan30°=

|PF2|

|F1F2|

=

3

3

，
∴

b2 a

2c

=

3

3

，∴

b4

a2

=

4c2

3

=

4(a2+b2)

3

，
∴3b?=4a?+4a²b²，∴4（

a

b

）?+4（

a

b

）²=3，
解得（

a

b

）²=

1

2

，或（

a

b

）²=-

3

2

．（舍）．
∴a=

2

2

b，c=

b2+ 1 2 b2

=

6

2

b，
双曲线的渐近线方程为bx±ay=0，
∵右焦点F₂（c，0）到双曲线的渐近线的距离是2，
∴

| 6 2 b2|

c

=2，∴

6

2

b2=2c=

6

b，解得b=2，
∴a=

2

，c=

6

，b=2，
∴双曲线方程为

x2

2

-

y2

4

=1．
（Ⅱ）双曲线

x2

2

-

y2

4

=1的左焦点F₁（-

6

，0），右焦点F₂（

6

，0），
∴直线L的方程：y=

3

3

(x+

6

)=

3

3

x+

2

，
∵以F₁F₂为直径的圆的方程为：x²+y²=6，
∴联立

x2+y2=6 y= 3 3 x+ 2

，得Q（-

6

，0）或Q（

6

2

，

3 2

2

），
当Q（-

6

，0），F₂（

6

，0）时，
过右焦点F₂和点Q的直线L′是直线F₁F₂，
它双曲线交于A、B两点，弦|AB|=2a=4；
当Q（

6

2

，

3 2

2

），F₂（

6

，0）时，
过右焦点F₂和点Q的直线L′的方程：

y

x- 6

=

3 2 2

6 2 - 6

，
整理，得y=-

3

x+3

2

，
把y=-

3

x+3

2

代入双曲线

x2

2

-

y2

4

=1，
整理，得：x2-6

6

x+22=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=6

6

，x₁x₂=22，
∴|AB|=

(1+3)[(6 6 )2-4×22]

=16

2

．
综上所述，弦|AB|的长度为4或16

2

．

点评：本题考查双曲线索方程的求法，考查弦长的求法，综合性强，难度大，解题时要注意直线方程的灵活运用．