Question

20．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且$\frac{a-b}{c}$=$\frac{sinB+sinC}{sinB+sinA}$．
（1）求角A的大小；
（2）若a=$\sqrt{7}$，b=2c，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由条件利用正弦定理可得b²+c²-a²=-bc，再利用余弦定理求得cosA的值，可得A的值．
（2）由条件利用余弦定理求得c的值，可得△ABC的面积为$\frac{1}{2}$bc•sinA 的值．

解答 解：（1）△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且$\frac{a-b}{c}$=$\frac{sinB+sinC}{sinB+sinA}$=$\frac{b+c}{b+a}$，
化简可得b²+c²-a²=-bc，∴cosA=$\frac{{b}^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$=-$\frac{1}{2}$，∴A=$\frac{2π}{3}$．
（2）∵△ABC中，a=$\sqrt{7}$，b=2c，∴a²=b²+c²-2bc•cosA=5c²-4c•（-$\frac{1}{2}$）=7，
∴c=1，∴△ABC的面积为$\frac{1}{2}$bc•sinA=$\frac{1}{2}$•2•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题．