Question

8．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知$\frac{{2{S_n}}}{3}-{3^{n-1}}$=1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足${b_n}=\frac{{{{log}_3}{a_n}}}{a_n}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\frac{{2{S_n}}}{3}-{3^{n-1}}$=1可得$2{S_n}={3^n}+3$，利用递推关系即可得出．
（II）由${b_n}=\frac{{{{log}_3}{a_n}}}{a_n}$及${a_n}=\left\{{\begin{array}{l}{3，\;\;\;\;n=1}\\{{3^{n-1}}，n＞1}\end{array}}\right.$，可得${b_n}=\frac{{{{log}_3}{a_n}}}{a_n}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}，\;\;\;\;n=1}\\{\frac{n-1}{{{3^{n-1}}}}，n＞1}\end{array}}\right.$，再利用“错位相减法”与求和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由$\frac{{2{S_n}}}{3}-{3^{n-1}}$=1可得$2{S_n}={3^n}+3$，
∴${a_1}={S_1}=\frac{1}{2}（3+3）=3$，
${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=\frac{1}{2}（{3^n}+3）-\frac{1}{2}（{3^{n-1}}+3）={3^{n-1}}（n≥2）$
而${a_1}=3≠{3^{1-1}}$，则${a_n}=\left\{{\begin{array}{l}{3，\;\;\;\;n=1}\\{{3^{n-1}}，n＞1}\end{array}}\right.$（5分）
（Ⅱ）由${b_n}=\frac{{{{log}_3}{a_n}}}{a_n}$及${a_n}=\left\{{\begin{array}{l}{3，\;\;\;\;n=1}\\{{3^{n-1}}，n＞1}\end{array}}\right.$
可得${b_n}=\frac{{{{log}_3}{a_n}}}{a_n}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}，\;\;\;\;n=1}\\{\frac{n-1}{{{3^{n-1}}}}，n＞1}\end{array}}\right.$，
∴${T_n}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+…+\frac{n-1}{{{3^{n-1}}}}$．
$\frac{1}{3}{T_n}=\;\;\;\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{2}{3^3}+\frac{3}{3^4}+…+\frac{n-2}{{{3^{n-1}}}}+\frac{n-1}{3^n}$，
∴$\frac{2}{3}$T_n=$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}$-$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$-$\frac{n-1}{{3}^{n-1}}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{n-1}{{3}^{n}}$=$\frac{2}{9}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{2n+1}{2×{3}^{n}}$，
∴${T_n}=\frac{13}{12}-\frac{2n+1}{{4•{3^{n-1}}}}$（12分）

点评 本题考查了数列递推关系、“错位相减法”、等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．