Question

已知f（x）=e^x（x²+mx+1-2m），其中m∈R．
（Ⅰ）当m=1时，求函数y=f（x）单调递增区间；
（Ⅱ）求证：对任意m∈R，函数y=f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线恒过定点；
（Ⅲ）是否存在实数m的值，使得y=f（x）在（-∞，+∞）上有最大值或最小值，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当m=1时，求导函数，令导数大于0，即可求函数y=f（x）单调递增区间；
（Ⅱ）解法1：求导函数，可得函数y=f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程，取两个特殊点，即可得出结论；解法2：切线方程（m-1）x+y+2m-1=0可化为m（x+2）-（x-y+1）=0，可得结论；
（Ⅲ）解法1：求导函数，构造函数，分类讨论，分别研究判别式，可得要使y=f（x）在（-∞，+∞）上有最大值或最小值，只需满足f（x₂）≤0即y₁≤0有解，即可求出实数m的取值范围；解法2：要使y=f（x）在（-∞，+∞）上有最大值或最小值，只需满足f（x₂）≤0，建立不等式，即可求出实数m的取值范围．

解答： （Ⅰ）解：当m=1时，f（x）=e^x（x²+x-1），f'（x）=e^x（x²+3x）
令f′（x）＞0，得x＞0或x＜-3
∴函数y=f（x）的单调递增区间为（-∞，-3），（0，+∞）…（4分）
（Ⅱ）解法1：f'（x）=e^x[x²+（m+2）x+（1-m）]f（0）=1-m，f'（0）=1-2m
函数y=f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程为y-（1-2m）=（1-m）（x-0）
即（m-1）x+y+2m-1=0
令m=0，则有x-y+1=0…①
令m=1，则有y=-1…②
由①②，解得

x=-2 y=-1

经检验，点（-2，-1）满足直线的方程（m-1）x+y+2m-1=0
∴函数y=f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程（m-1）x+y+2m-1=0经过定点（-2，-1）．…（9分）
解法2：f'（x）=e^x[x²+（m+2）x+（1-m）]f（0）=1-m，f'（0）=1-2m
∴函数y=f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程为y-（1-2m）=（1-m）（x-0）
即（m-1）x+y+2m-1=0
方程（m-1）x+y+2m-1=0可化为m（x+2）-（x-y+1）=0
当

x+2=0 x-y+1=0

即

x=-2 y=-1

时，对任意m∈R，（m-1）x+y+2m-1=0恒成立
∴函数y=f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程（m-1）x+y+2m-1=0经过定点（-2，-1）．…（9分）
（Ⅲ）解法1：f'（x）=e^x[x²+（m+2）x+（1-m）]
令y1=x2+mx+1-2m，y2=x2+(m+2)x+(1-m)，
△1=m2-4(1-2m)=m2+8m-4，△2=(m+2)2-4(1-m)=m2+8m
①当△₂≤0即-8≤m≤0时，y=x²+（m+2）x+（1-m）≥0
∴f'（x）=e^x[x²+（m+2）x+（1-m）]≥0
∴y=f（x）在（-∞，+∞）上单调递增
∴y=f（x）在（-∞，+∞）上不存在最大值和最小值．…（11分）
②当△₂＞0即m＜-8或m＞0时，设方程x²+（m+2）x+（1-m）=0的两根为x₁，x₂f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

当x→-∞时，f（x）＞0，f（x）→0；当x→+∞时，f（x）→+∞
∴要使y=f（x）在（-∞，+∞）上有最大值或最小值，只需满足f（x₂）≤0即y₁≤0有解
∴△1=m2-4(1-2m)=m2+8m-4≥0，解得m≤-4-2

5

或m≥-4+2

5

综上可得，m≤-4-2

5

或m≥-4+2

5

…（14分）
解法2：f'（x）=e^x[x²+（m+2）x+（1-m）]
令y1=x2+mx+1-2m，y2=x2+(m+2)x+(1-m)，
△1=m2-4(1-2m)=m2+8m-4，△2=(m+2)2-4(1-m)=m2+8m
①当△₂≤0即-8≤m≤0时，y=x²+（m+2）x+（1-m）≥0
∴f'（x）=e^x[x²+（m+2）x+（1-m）]≥0
∴y=f（x）在（-∞，+∞）上单调递增
∴y=f（x）在（-∞，+∞）上不存在最大值和最小值．…（11分）
②当△₂＞0即m＜-8或m＞0时，设方程x²+（m+2）x+（1-m）=0的两根为x₁，x₂x1=

-(m+2)- m2+8m

2

，x2=

-(m+2)+ m2+8m

2

f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

当x→-∞时，f（x）＞0，f（x）→0；当x→+∞时，f（x）→+∞
∴要使y=f（x）在（-∞，+∞）上有最大值或最小值，只需满足f（x₂）≤0f(x2)=x22+mx2+1-2m=[x22+(m+2)x2+(1-m)]-2x2-m=-m-2x2≤0
∴-2×

-(m+2)+ m2+8m

2

-m=m+2-

m2+8m

-m≤0
化简，得m²+8m-4≥0
解得m≤-4-2

5

或m≥-4+2

5

综上可得，m≤-4-2

5

或m≥-4+2

5

…（14分）

点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查导数的几何意义，考查分类讨论的数学思想，属于难题．