Question

3．已知S_n是数列{a_n}的前n项和，且满足S_n-2a_n=n-4．
（1）证明{S_n-n+2}为等比数列；
（2）求数列{S_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）当n=1时，a₁=S₁，求得首项为3，由题意可得S_n-n+2=2[S_n-1-（n-1）+2]，运用等比数列的定义即可得证；
（2）运用等比数列的通项公式可得${S_n}={2^{n+1}}+n-2$，再由数列的求和方法：分组求和，结合等比数列和等差数列的求和公式，化简即可得到所求和．

解答 解：（1）证明：当n=1时，a₁=S₁，S₁-2a₁=1-4，
可得a₁=3，
S_n-2a_n=n-4转化为：S_n-2（S_n-S_n-1）=n-4（n≥2），
即S_n=2S_n-1-n+4，
所以S_n-n+2=2[S_n-1-（n-1）+2]
注意到S₁-1+2=4，
所以{S_n-n+2}为首项为4，公比为2等比数列；
（2）由（1）知：${S_n}-n+2={2^{n+1}}$，
所以${S_n}={2^{n+1}}+n-2$，
于是${T_n}=（{2^2}+{2^3}+…+{2^{n+1}}）+（1+2+…+n）-2n$
=$\frac{{4（1-{2^n}）}}{1-2}+\frac{n（n+1）}{2}-2n$=$\frac{{{2^{n+3}}+{n^2}-3n-8}}{2}$．

点评 本题考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和，同时考查等差数列的求和公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．