Question

15．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，O为AD中点，M是棱PC上的点，AD=2BC．
（1）求证：平面POB⊥平面PAD；
（2）若PA∥平面BMO，求$\frac{PM}{MC}$的值．

Answer 1

分析 （1）证明四边形BCDO是平行四边形，得出OB⊥AD；再证明BO⊥平面PAD，从而证明平面POB⊥平面PAD；
（2）解法一：由$\frac{PM}{MC}=1$，M为PC中点，证明N是AC的中点，MN∥PA，PA∥平面BMO．
解法二：由PA∥平面BMO，证明N是AC的中点，M是PC的中点，得$\frac{PM}{MC}=1$．

解答 解：（1）证明：∵AD∥BC，$BC=\frac{1}{2}AD$，O为AD的中点，
∴四边形BCDO为平行四边形，
∴CD∥BO；
又∵∠ADC=90°，
∴∠AOB=90°，即OB⊥AD；
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BO⊥平面PAD；
又∵BO?平面POB，
∴平面POB⊥平面PAD；
（2）解法一：$\frac{PM}{MC}=1$，即M为PC中点，以下证明：
连结AC，交BO于N，连结MN，
∵AD∥BC，O为AD中点，AD=2BC，
∴N是AC的中点，
又点M是棱PC的中点，∴MN∥PA，
∵PA?平面BMO，MN?平面BMO，
∴PA∥平面BMO．
解法二：连接AC，交BO于N，连结MN，
∵PA∥平面BMO，平面BMO∩平面PAC=MN，
∴PA∥MN；
又∵AD∥BC，O为AD中点，AD=2BC，
∴N是AC的中点，
∴M是PC的中点，则$\frac{PM}{MC}=1$．

点评 本题考查了空间中平行与垂直关系的应用问题，也考查了逻辑推理与空间想象能力，是综合性题目．