Question

16．设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x²-（a-1）x（a∈R）．
（1）若f（1）=2，求f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，若不等式f（k•2^x）+f（4^x+1）＞0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求f（1）=1-a+1=2，得出a值，只需求出但x＜0时的解析式即可；
（2）先判断奇函数的单调性，整理不等式可得（2^x）²+k2^x+1＞0恒成立，令t=2^x，t＞0，得出k＞-t-$\frac{1}{t}$，只需求右式的最大值即可．

解答 解：（1）f（1）=1-a+1=2，a=0，
∴当x＞0时，f（x）=x²+x，
当x＜0时，f（x）=-f（-x）=-x²+x，
当x=0时，f（0）=0；
（2）当x＞0时，f（x）=x²+x，
∴f（x）在x＞0时为递增函数，由奇函数的性质可知f（x）在R上也为增函数，
∵f（k•2^x）+f（4^x+1）＞0恒成立，
∴（2^x）²+k2^x+1＞0恒成立，
令t=2^x，t＞0，
∴t²+kt+1＞0恒成立，t＞0，
∴k＞-t-$\frac{1}{t}$，
∵-t-$\frac{1}{t}$≤-2，
∴k＞-2．

点评 考查了奇函数的性质，利用性质解决恒成立问题．注意恒成立问题的转换．