Question

5．已知在等差数列{a_n}中，a₁=-31，S_n为数列{a_n}的前n项和，S₁₀=S₂₂．
（1）求{a_n}的通项公式，并判断2015是否是数列{a_n}的项；
（2）这个数列前多少项的和最小，最小值是多少？

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₁=-31，S₁₀=S₂₂．利用等差数列的前n项和公式即可得出．
（2）令a_n=-31+2（n-1）=2n-33≤0，解得n即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₁=-31，S₁₀=S₂₂．
∴-31×10+$\frac{10×9}{2}d$=-31×22+$\frac{22×21}{2}d$，解得d=2．
∴a_n=-31+2（n-1）=2n-33．
假设2015=2n-33，解得n=1024，因此2015是数列{a_n}的第1024项．
（2）令a_n=-31+2（n-1）=2n-33≤0，解得n$≤\frac{33}{2}$．
∴当n=-16时，这个数列前16项的和最小．
S₁₆=-31×16+$\frac{16×15}{2}×2$
=-256．

点评 本题考查了等差数列通项公式及其前n项和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．