Question

7．已知F₁，F₂分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}}{|P{F}_{2}|}$的最小值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是（　　）

• A． （1，+∞）
• B． （1，2]
• C． （1，$\sqrt{3}$]
• D． （1，3]

Answer 1

分析 首先利用双曲线的定义求出关系式，进一步利用均值不等式建立关系式，$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}}{|P{F}_{2}|}$=$\frac{（2a+m）^{2}}{m}$=$\frac{4{a}^{2}}{m}$+4a+m≥8a，最后求出结果．

解答 解：设|PF₂|=m，（m≥c-a）
则：根据双曲线的定义：|PF₁|=2a+m，
所以$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}}{|P{F}_{2}|}$=$\frac{（2a+m）^{2}}{m}$=$\frac{4{a}^{2}}{m}$+4a+m≥8a当且仅当m=2a时成立．
所以：c-a≤2a
即解得：1＜e≤3
故选：D．

点评 本题考查的知识要点：双曲线的定义的应用．双曲线的离心率，均值不等式的应用，属于中等题型．