Question

7．设函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+（1-a）x²-4ax+a，其中a为常数．
（1）当a=2时，求函数f（x）的单调减区间；
（2）若函数f（x）在区间[0，3]上的最大值为3，求实数a的取值集合；
（3）试讨论函数y=f′（x）的图象与函数y=$\frac{1}{x}$-（a+1）²的图象的公切线条数．

Answer 1

分析 （1）当a=2时，f′（x）=x²-2x-8=（x-4）（x+2），由导数性质能求出当a=2时，函数f（x）的单调减区间．
（2）f′（x）=x²+2（1-a）x-4a=（x+2）（x-2a），由此利用分类讨论和导数性质能求出实数a的取值集合．
（3）设g（x）=$\frac{1}{x}-（a+1）^{2}$，并设切点为[${x}_{0}，\frac{1}{{x}_{0}}-（a+1）^{2}$]，则${g}^{'}（{x}_{0}）=-\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}$，从而得到切线方程为y=-$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}+\frac{2}{{x}_{0}}$-（a+1）²，令此直线与y=f′（x）的图象相切，得到${x}^{2}+（\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}+2-2a）x-\frac{2}{{x}_{0}}+（a-1）^{2}=0$，由根的判别式得$8{{x}_{0}}^{3}+4（1-a）{{x}_{0}}^{2}+1=0$（x₀≠0），此方程根的个数即为函数y=f′（x）的图象与函数y=$\frac{1}{x}-（a+1）^{2}$的图象的公切线条数，由此能求出函数y=f′（x）的图象与函数y=$\frac{1}{x}$-（a+1）²的图象的公切线条数．

解答 解：（1）当a=2时，f（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}-{x}^{2}-8x+2$，
f′（x）=x²-2x-8=（x-4）（x+2），令f′（x）＜0，解得x∈（-2，4），
即当a=2时，函数f（x）的单调减区间为（-2，4）．…（3分）
（2）f′（x）=x²+2（1-a）x-4a=（x+2）（x-2a），
i：当a≤0时，f′（x）≥0在区间[0，3]上恒成立，即f（x）单调递增，
令f（x）_max=f（3）=18-20a=3，∴a=$\frac{3}{4}$，所以a≤0不符合题意．…（4分）
ii：当a＞0时，f′（x）=x²+2（1-a）x-4a=（x+2）（x-2a），
因为f（x）在区间[0，3]上的最大值为3，所以f（0）=a≤3，
?当2a≥3，即a$≥\frac{3}{2}$时，f′（x）≤0在区间[0，3]上恒成立，即f（x）单调递减，
令f（x）_max=f（0）=3，得a=3$≥\frac{3}{2}$，即a=3符合题意，…（6分）
?当0＜2a＜3，即0＜a＜$\frac{3}{2}$时，f′（x）≤0在区间[0，3]的解集为[0，2a]，
即函数f（x）在区间[0，2a]上单调递减，在区间[2a，3]单调递增，
所以f（x）_max=max{f（0），f（3）}，又因为f（0）=a＜3，
所以令f（3）=3，求得a=$\frac{3}{4}$＜$\frac{3}{2}$，即a=$\frac{3}{4}$符合题意，
综上，实数a的取值集合为{3，$\frac{3}{4}$}．…（8分）
（3）设g（x）=$\frac{1}{x}-（a+1）^{2}$，并设切点为[${x}_{0}，\frac{1}{{x}_{0}}-（a+1）^{2}$]，则${g}^{'}（{x}_{0}）=-\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}$，
即切线方程为y-$\frac{1}{{x}_{0}}$+（a+1）²=-$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}$（x-x₀），
整理得y=-$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}+\frac{2}{{x}_{0}}$-（a+1）²，
f′（x）=x²+2（1-a）x-4a，且由题意，令此直线与y=f′（x）的图象相切，
即x²+2（1-a）x-4a=-$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}$x+$\frac{2}{{x}_{0}}$-（a+1）²，
整理可得${x}^{2}+（\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}+2-2a）x-\frac{2}{{x}_{0}}+（a-1）^{2}=0$，
令$△=（\frac{1}{{x}^{2}}+2-2a）^{2}-4[-\frac{2}{{x}_{0}}+（a-1）^{2}]$=$\frac{1}{{{x}_{0}}^{4}}+\frac{4（1-a）}{{{x}_{0}}^{2}}+\frac{8}{{x}_{0}}$=0，
整理得$8{{x}_{0}}^{3}+4（1-a）{{x}_{0}}^{2}+1=0$（x₀≠0），
由题意可知，此方程根的个数即为函数y=f′（x）的图象与函数y=$\frac{1}{x}-（a+1）^{2}$的图象的公切线条数，…（10分）
设h（x）=8x³+4（1-a）x²+1，则h′（x）=24x²+8（1-a）x=8x（3x+1-a），
令h′（x）=0，解得x=0或x=$\frac{a-1}{3}$，
i：当$\frac{a-1}{3}$＜0，即a＜1时，h′（x）＜0的解集为（$\frac{a-1}{3}，0$），列表如下：

x	（-∞，$\frac{a-1}{3}$）	$\frac{a-1}{3}$	（$\frac{a-1}{3}$，0）	0	（0，+∞）
h′（x）	+	0	-	0	+
h（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

由表得，当x=时，f（x）取得极小值，
又因为h（0）=1＞0，所以方程$8{{x}_{0}}^{3}+4（1-a）{{x}_{0}}^{2}+1=0$，（x₀≠0）有且仅有一个实数根，即公切线条数为一条…（12分）
ii：当$\frac{a-1}{3}$=0，即a=1时，h′（x）≥0恒成立，即h（x）在R上单调递增，
又因为h（0）=1＞0，所以方程$8{{x}_{0}}^{3}+4（1-a）{{x}_{0}}^{2}$+1=0（x₀≠0）有且仅有一个实数根，即公切线条数为一条…（13分）
iii：当$\frac{a-1}{3}$＞0，即a＞1时，h′（x）＜0的解集为（0，$\frac{a-1}{3}$），列表如下：

x	（-∞，0）	0	（0，$\frac{a-1}{3}$）	$\frac{a-1}{3}$	（$\frac{a-1}{3}$，+∞）
h′（x）	+	0	-	0	+
h（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

由表得，当x=0时，h（x）取得极大值；当x=$\frac{a-1}{3}$时，h（x）取得极小值，
因为h（0）=1＞0，h（$\frac{a-1}{3}$）=$\frac{8}{27}$（a-1）³-$\frac{4}{9}$（a-1）³+1=-$\frac{4}{27}$（a-1）³+1，
?当h（$\frac{a-1}{3}$）=-$\frac{4}{27}$（a-1）³+1＞0，即1＜a＜$\frac{3\root{3}{2}+2}{2}$时，
方程$8{{x}_{0}}^{3}+4（1-a）{{x}_{0}}^{2}+1=0$，（x₀≠0）有且仅有一个实数根，即公切线条数为一条，
?当h（$\frac{a-1}{3}$）=-$\frac{4}{27}$（a-1）³+1=0，即a=$\frac{3\root{3}{2}+2}{2}$时，
方程$8{{x}_{0}}^{3}+4（1-a）{{x}_{0}}^{2}$+1=0，（x₀≠0）有且仅有两个实数根，即公切线条数为两条，
?当$h（\frac{a-1}{3}）=-\frac{4}{27}（a-1）^{3}+1$＜0，即a＞$\frac{3\root{3}{2}+2}{2}$时，
方程$8{{x}_{0}}^{3}+4（1-a）{{x}_{0}}^{2}+1=0$（x₀≠0）有且仅有三个实数根，即公切线条数为三条，
综上，当a＜$\frac{3\root{3}{2}+2}{2}$时，公切线条数为一条；当a=$\frac{3\root{3}{2}+2}{2}$时，公切线条数为两条；
当a＞$\frac{3\root{3}{2}+2}{2}$时，公切线条数为三条．…（16分）

点评 本题考查函数f（x）的单调减区间的求法，考查实数的取值集合的求法，考查函数y=f′（x）的图象与函数y=$\frac{1}{x}$-（a+1）²的图象的公切线条数的求法，综合性强，难度大，对数学思维能力的要求较高，解题时要认真审题，注意分类讨论思想和导数性质的合理运用．