Question

12．已知函数f（x）=e^x+ln（x+1）．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）当x≥0时，f（x）≥ax+1成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意f（0）=1，$f'（x）={e^x}+\frac{1}{x+1}$，由此利用导数的几何意义能求出y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-ax-1，则$g'（x）=f'（x）-a={e^x}+\frac{1}{x+1}-a$，令$h（x）={e^x}+\frac{1}{x+1}$，则$h'（x）={e^x}-\frac{1}{{{{（{x+1}）}^2}}}$，由此利用分类讨论思想和导数性质能求出实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）f（0）=e⁰+ln（0+1）=1，
$f'（x）={e^x}+\frac{1}{x+1}$，$f'（0）={e^0}+\frac{1}{0+1}=2$
∴y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为：y-1=2（x-0），即y=2x+1．…（5分）
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-ax-1，
则$g'（x）=f'（x）-a={e^x}+\frac{1}{x+1}-a$
令$h（x）={e^x}+\frac{1}{x+1}$，则$h'（x）={e^x}-\frac{1}{{{{（{x+1}）}^2}}}$，
当x≥0时，e^x＞1，$0＜\frac{1}{{{{（{x+1}）}^2}}}≤1$，∴h'（x）＞0，
∴函数y=h（x）（x≥0）为增函数，∴h（x）≥h（0）=2，∴g'（x）≥2-a
ī）当a≤2时，2-a≥0，∴当a≤2时，g'（x）≥0
∴函数y=g（x）（x≥0）为增函数，∴g（x）≥g（0）=0
故对?x≥0，f（x）≥ax+1成立．
īī）当a＞2时，a-1＞1，由x≥0时$0＜\frac{1}{x+1}≤1$$g'（x）=f'（x）-a={e^x}+\frac{1}{x+1}-a＜{e^x}+1-a$，
当x∈（0，ln（a-1））知e^x+1-a＜0，即g'（x）＜0，
∴函数y=g（x），x∈（0，ln（a-1））为减函数，
∴当0＜x＜ln（a-1）时，g（x）＜g（0）=0
从而f（x）＜ax+1这与题意不符，
综上，对?x≥0，f（x）≥ax+1成立时，实数a的取值范围为（-∞，2]．…（12分）

点评 本题考查切线方程的求法，考查导数的几何意义的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质和分类讨论思想的合理运用．