设函数f的定义域分别为A.B.且A⊆B.若对于任意x∈A.都有g函数为f(x)在B上的一个延拓函数．设f(x)=e-x在R上的一个延拓函数.且g(x)是奇函数．给出以下命题:①当x＜0时.g(x)=e-x(1-x), ②函数g(x)有3个零点,③g∪, ④?x1.x2∈R.都有$|g|≤\frac{2}{e^2}$．其中正确命题的个数是( )A� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

14．设函数f（x）、g（x）的定义域分别为A，B，且A⊆B，若对于任意x∈A，都有g（x）=f（x），则称g（x）函数为f（x）在B上的一个延拓函数．设f（x）=e^-x（x-1）（x＞0），g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是奇函数．给出以下命题：
①当x＜0时，g（x）=e^-x（1-x）；
②函数g（x）有3个零点；
③g（x）＞0的解集为（-1，0）∪（1，+∞）；
④?x₁，x₂∈R，都有$|g（{x_1}）-g（{x_2}）|≤\frac{2}{e^2}$．
其中正确命题的个数是（　　）

A．

1

B．

2

C．

3

D．

4

分析设x＜0，则-x＞0，由函数得性质可得解析式，可判①的真假，再由性质作出图象可对其他命题作出判断．

解答解：由题意得，x＞0时，g（x）=f（x）=e^-x（x-1），
当x＜0时，则-x＞0，g（-x）=f（-x）=e^x（-x-1）=-g（x），所以g（x）=e^x（x+1），故①不正确；
对x＜0时的解析式求导数可得，g′（x）=e^x（x+2），令其等于0，解得x=-2，
且当x∈（-∞，-2）上导数小于0，函数单调递减；当x∈（-2，+∞）上导数大于0，函数单调递增，
x=-2处为极小值点，且g（-2）＞-1，且在x=1处函数值为0，且当x＜-1是函数值为负．
又因为奇函数的图象关于原点中心对称，故函数f（x）的图象应如图所示：
由图象可知：函数f（x）有3个零点，故②③正确；
由于函数-1＜g（x）＜1，故有对?x₁，x₂∈R，|g（x₂）-g（x₁）|＜2恒成立，即④不正确．
故选：B．

点评本题是个新定义题，主要考查利用函数奇偶性求函数解析式的方法，在解题时注意对于新定义的理解．作出函数的图象是解决问题的关键，属于中档题．

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5．（1）已知$g（x）=\sqrt{x}$，求曲线g（x）在点（4，2）处的切线方程；
（2）已知函数f（x）=x³-3x，过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程．

2．下列命题是真命题是（　　）
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	C．	$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$		D．	$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{{{2^{n_0}}-1}}$

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