为了测量两山顶M.N间的距离.飞机沿水平方向在A.B两点进行测量．A.B.M.N在同一个铅垂平面内．飞机能够测量的数据有俯角和A.B间的距离．现测得AB间的距离为d.A点到M.N点的俯角为α1.β1,B点到M.N点的俯角为α2.β2.请将测量所得到的数据在图上标出.并用所测得的数据.公式和必要的文字写出M.N间距离的表达式．(用所测得� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．

为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量．A、B、M、N在同一个铅垂平面内（如示意图）．飞机能够测量的数据有俯角和A、B间的距离．现测得AB间的距离为d，A点到M、N点的俯角为α₁、β₁；B点到M、N点的俯角为α₂、β₂，请将测量所得到的数据在图上标出，并用所测得的数据、公式和必要的文字写出M、N间距离的表达式．（用所测得的数据写出MN的表达式）．

分析在△ABM和△ABN中利用正弦定理计算BM，BN，在△BMN中利用余弦定理计算MN．

解答解：由题意可知∠BAM=α₁，∠ABM=α₂，AB=d，
则△ABM中，∠AMB=180°-α₁-α₂，
由正弦定理可得$\frac{AB}{sin∠AMB}=\frac{BM}{sin∠BAM}$，即$\frac{d}{sin（{α}_{1}+{α}_{2}）}$=$\frac{BM}{sin{α}_{1}}$，
∴BM=$\frac{dsin{α}_{1}}{sin（{α}_{1}+{α}_{2}）}$，
在△ABN中，∠ANB=β₂-β₁，
由正弦定理得$\frac{BN}{sin∠BAN}=\frac{AB}{sin∠ANB}$，即$\frac{d}{sin（{β}_{2}-{β}_{1}）}$=$\frac{BN}{sin{β}_{1}}$，
∴BN=$\frac{dsin{β}_{1}}{sin（{β}_{2}-{β}_{1}）}$，
在△BMN中，∠MBN=180°-α₂-β₂，∴cos∠MBN=-cos（α₂+β₂），
由余弦定理得MN²=BM²+BN²-2BM•BN•cos∠MBN=$\frac{{d}^{2}si{n}^{2}{α}_{1}}{si{n}^{2}（{α}_{1}+{α}_{2}）}$+$\frac{{d}^{2}si{n}^{2}{β}_{1}}{si{n}^{2}（{β}_{2}-{β}_{1}）}$+$\frac{{2d}^{2}sin{α}_{1}sin{β}_{1}cos（{α}_{2}+{β}_{2}）}{sin（{α}_{1}+{α}_{2}）sin（{β}_{2}-{β}_{1}）}$，
∴MN=d$\sqrt{\frac{si{n}^{2}{α}_{1}}{si{n}^{2}（{α}_{1}+{α}_{2}）}+\frac{si{n}^{2}{β}_{1}}{si{n}^{2}（{β}_{2}-{β}_{1}）}+\frac{2sin{α}_{1}sin{β}_{1}cos（{α}_{2}+{β}_{2}）}{sin（{α}_{1}+{α}_{2}）sin（{β}_{2}-{β}_{1}）}}$，

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