Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，M是PC上一点，侧棱PA⊥底面ABCD，且PC与底面ABCD成45°角．
（1）当M为PC的中点时，求异面直线AM与PB所成的角；
（2）当PM=

8

3

时，求四面体PBDM的体积．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：（1）过M作ME∥PB交BC于E，连结AM，AE，∠AME是异面直线AM与PB所成的角，由此能求出异面直线AM与PB所成的角的大小．
（2）连结BD，AC交于F，连结DM，BM，PF，MF，作MO⊥PF，利用余弦定理求出cos∠BPC=

3

2

，BM=

2 7

3

，cos∠FPM=

3 10

10

，OM=

4 10

5

，由此能求出四面体PBDM的体积．

解答： 解：（1）如图，过M作ME∥PB交BC于E，连结AM，
则∠AME是异面直线AM与PB所成的角，
∵PA⊥底面ABCD，且∠PCA=45°，M是PC中点，
∴△PAC是等腰三角形，AM垂直平分PC，
在正方形ABCD中，AC=

2

AB=2

2

=PA，∠ACE=45°，
∴PC=

2

AC=4，AM=

PC

2

=2，
∴PB=

PA2+AB2

=2

3

，∵M是PC的中点，ME∥PB，
∴ME是△PBC的中位线，∴ME=

PB

2

=

3

，EC=

BC

2

=1，
在△ACE中，由余弦定理，得
AE²=8+1-2

2

×2×

2

2

=5，
在△AME中，由余弦定理，得：
AE²=4+3-2×2×

3

cos∠AME=7-4

3

cos∠AME，
∴5=7-4

3

cos∠AME，
∴cos∠AME=

3

6

，
∴∠AME=arccos

3

6

．
（2）如图，连结BD，AC交于F，连结DM，BM，PF，MF，作MO⊥PF，
∵PA⊥底面ABCD，ABCD是正方形，∠PCA=45°，
∴PA=AC=BD=2

2

，PB=PD=

PA2+AB2

=2

3

，
PC=

2

PA=4，BF=AF=

AC

2

=

2

，
∴△PBD是等腰三角形，PF=

PA2+AF2

=

10

，
∴PF垂直平分BD，
∴S_△PBD=BD•PF=

1

2

•2

2

•

10

=2

5

，
∵△PBC≌△PDC，∴△PMB≌△PMD，∴MB=MD，
∴△BMD是等腰三角形，
∴MF垂直平分BD，
在△PBC中，根据余弦定理，得：
BC²=PC²+PB²-2PC•PBcos∠BPC，
解得cos∠BPC=-

BC2-PC2-PB2

2PC•PB

=-

4-16-12

2×4×2 3

=

3

2

，
在△PMB中，根据余弦定理，得：
BM²=PM²+PB²-2PM•PBcos∠BPC
=

64

9

=12-2×

8

3

×2

3

×

3

2

=

28

9

，
解得BM=

2 7

3

，
在△PMF中，根据余弦定理，得：
cos∠FPM=

64 9 +10- 10 9

2× 8 3 × 10

=

3 10

10

，
∴在Rt△POM中，OM=PM•cos∠FPB=

8

3

•

3 10

10

=

4 10

5

，
∴V_P-BDM=

1

3

S△PDB•OM=

1

3

•2

5

•

4 10

5

=

8 2

3

．

点评：本题考查异面直线所成的角的求法，考查四面体的体积的求法，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．