Question

设x=m和x=n是函数f（x）=2lnx+

1

2

x²-（a+1）x的两个极点值，其中m＜N，a＞0
（1）若a=2时，求m，n的值；
（2）求f（m）+f（n）的取值范围；
（3）若a≥

2e

+

2 e

-1（e是自然对数的底数），求证：f（n）-f（m）≤2-e+

1

e

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：计算题,证明题,压轴题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导f′（x）=

2

x

+x-（a+1）=

x2-(a+1)x+2

x

，从而可得m，n是方程x²-3x+2=0的两个根，从而求解．
（Ⅱ）由已知有m，n是方程x²-（a+1）x+2=0的两个根，可得△=（a+1）²-8＞0，m+n=a+1＞0，mn=2＞0，化简f（m）+f（n）=2lnm+

1

2

m²-（a+1）m+2lnn+

1

2

n²-（a+1）n=-

1

2

（a+1）²-2+2ln2．从而求得．
（Ⅲ）化简f（n）-f（m）=2lnn+

1

2

n²-（a+1）n-（2lnm+

1

2

m²-（a+1）m）=2ln

n

m

-

1

2

（n²-m²），从而化为f（n）-f（m）=2ln

n2

2

-

1

2

（n²+

4

n2

）．令

n2

2

=t，则n²=2t，且t≥e，从而得到f（n）-f（m）=2lnt-t+

1

t

，令g（t）=2lnt-t+

1

t

，则g′（t）=

2

t

-1-

1

t2

=-

(t-1)2

t2

＜0，从而证明．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=

2

x

+x-（a+1）=

x2-(a+1)x+2

x

，
∴当a=2时，f′（x）=0可化为x²-3x+2=0，
故m，n是方程x²-3x+2=0的两个根，
∴m=1，n=2．

（Ⅱ）由已知有m，n是方程x²-（a+1）x+2=0的两个根，
∴△=（a+1）²-8＞0，m+n=a+1＞0，mn=2＞0．
∴f（m）+f（n）=2lnm+

1

2

m²-（a+1）m+2lnn+

1

2

n²-（a+1）n
=2ln（mn）+

1

2

（m²+n²）-（a+1）（m+n）
=2ln2+

1

2

[（m+n）²-2nm]-（a+1）（m+n）
=2ln2+

1

2

[（a+1）²-4]-（a+1）²
=-

1

2

（a+1）²-2+2ln2．
∵（a+1）²＞8，
∴f（m）+f（n）＜2ln2-6，
即f（m）+f（n）的取值范围为（-∞，2ln2-6）．

（Ⅲ）证明：f（n）-f（m）=2lnn+

1

2

n²-（a+1）n-（2lnm+

1

2

m²-（a+1）m）
=2ln

n

m

+

1

2

（n²-m²）-（a+1）（n-m）
=2ln

n

m

-

1

2

（n²-m²），
又mn=2，所以m=

2

n

，
于是，f（n）-f（m）=2ln

n2

2

-

1

2

（n²+

4

n2

）．
由 0＜m＜n，可得n²＞2，解得n＞

2

．
∵a≥

2e

+

2 e

-1，
∴m+n=a+1≥

2e

+

2 e

，即

2

n

+n≥

2e

+

2 e

，
可解得0＜n≤

2 e

（舍去），或n≥

2e

．
令

n2

2

=t，则n²=2t，且t≥e，
f（n）-f（m）=2lnt-t+

1

t

，
令g（t）=2lnt-t+

1

t

，则g′（t）=

2

t

-1-

1

t2

=-

(t-1)2

t2

＜0；
故g（t）=2lnt-t+

1

t

在[e，+∞）上单调递减，
∴g_max（t）=2-e+

1

e

；
故f（n）-f（m）≤2-e+

1

e

．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题及换元的思想的综合应用，属于难题．