Question

14．设函数f（x）=e^x-mx，x∈R．
（1）已知曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为x+by=1，求实数m的值；
（2）若f（x）＞0恒成立，求m的范围；
（3）当m＞1时，求函数f（x）在[0，m]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，由题意可得f′（0）=1-m=-$\frac{1}{b}$，再由切点处的函数值相等求出b，则实数m的值可求；
（2）对m分类分析原函数的导函数的符号，由单调性求出原函数的最小值，再由最小值大于0求得m的范围；
（3）由（2）可知，当m＞1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，再由单调性求得函数f（x）在[0，m]上的最大值．

解答 解：（1）由f（x）=e^x-mx，得f′（x）=e^x-m，
∴f′（0）=e⁰-m=1-m，
又f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为x+by=1，
∴f′（0）=1-m=-$\frac{1}{b}$，即m=1+$\frac{1}{b}$，
又f（0）=1=$\frac{1}{b}$，
∴m=1+$\frac{1}{b}=1+1=2$；
（2）f′（x）=e^x-m，
若m=0，满足f（x）＞0恒成立；
若m＜0，则f′（x）＞0恒成立，
∴f（x）=e^x-mx为增函数，
当x→-∞时，f（x）=e^x-mx→-∞，不满足f（x）＞0恒成立；
若m＞0，由f′（x）=e^x-m=0，得x=lnm，
∴当x∈（-∞，lnm）时，f′（x）＜0；
当x∈（lnm，+∞）时，f′（x）＞0．
∴f（x）在（-∞，lnm）上单调递减，在（lnm，+∞）上单调递增，
∴f（x）_min=f（lnm）=e^lnm-mlnm=m（1-lnm），
由m（1-lnm）＞0，得0＜m＜e．
综上，m的取值范围为[0，e）；
（3）由（2）知，当m＞1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴函数f（x）在[0，m]上单调递增，
则函数f（x）在[0，m]上的最大值为f（m）=e^m-m²．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，训练了函数恒成立问题，是压轴题．