Question

已知直线l：（2λ+1）x+（λ+2）y+2λ+2=0（λ∈R），有下列四个结论：
①直线l经过定点（0，-2）；
②若直线l在x轴和y轴上的截距相等，则λ=1；
③当λ∈[1，4+3

3

]时，直线l的倾斜角θ∈[120°，135°]；
④当λ∈（0，+∞）时，直线l与两坐标轴围成的三角形面积的最小值为

8

9

．
其中正确结论的是

 

（填上你认为正确的所有序号）．

Answer 1

考点：恒过定点的直线

专题：直线与圆

分析：①．以直线l：（2λ+1）x+（λ+2）y+2λ+2=0化为λ（2x+y+2）+（x+2y+2）=0，联立

2x+y+2=0 x+2y+2=0

，解得即可判断出．
②当x=y=0时，解得λ=-1，满足条件；当λ=-2或-

1

2

时，不满足条件，舍去．当λ≠-1，-2，-

1

2

时，令x=0，解得y=-

2λ+2

λ+2

，令y=0，解得x=

-2λ-2

2λ+1

，由-

2λ+2

λ+2

=

-2λ-2

2λ+1

，解得λ即可判断出．
③当λ∈[1，4+3

3

]时，直线l的斜率k=tanθ=-

2λ+1

λ+2

=-2+

3

λ+2

，利用λ∈[1，4+3

3

]，可得tanθ∈[-

3

，-1]，解出即可；
④λ∈（0，+∞）时，由②可得S=

1

2

|-

2λ+2

λ+2

|•|-

2λ+2

2λ+1

|=|1-

1

2λ+ 2 λ +5

|，利用基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：①．以直线l：（2λ+1）x+（λ+2）y+2λ+2=0化为λ（2x+y+2）+（x+2y+2）=0，联立

2x+y+2=0 x+2y+2=0

，解得x=y=-

2

3

．∴直线l过定点(-

2

3

，-

2

3

)．因此不正确．
②当x=y=0时，解得λ=-1，满足条件；当λ=-2或-

1

2

时，不满足条件，舍去．当λ≠-1，-2，-

1

2

时，令x=0，解得y=-

2λ+2

λ+2

，令y=0，解得x=

-2λ-2

2λ+1

，由-

2λ+2

λ+2

=

-2λ-2

2λ+1

，解得λ=1．综上可得λ±1，因此不正确．
③当λ∈[1，4+3

3

]时，直线l的斜率k=tanθ=-

2λ+1

λ+2

=-2+

3

λ+2

，∵λ∈[1，4+3

3

]，∴

3

λ+2

∈[2-

3

，1]，∴tanθ∈[-

3

，-1]，∵θ∈[0°，180°），∴θ∈[120°，135°]，因此直线l的倾斜角θ∈[120°，135°]，正确；
④λ∈（0，+∞）时，由②可得S=

1

2

|-

2λ+2

λ+2

|•|-

2λ+2

2λ+1

|=|1-

1

2λ+ 2 λ +5

|≥

8

9

，当且仅当λ=1时取等号，因此正确．
综上可得：只有③④正确．
故答案为：③④．

点评：本题综合考查了直线恒过定点问题、直线的截距式、倾斜角与斜率之间的关系、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质、函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．